Sunday, April 5, 2009

The thrilling conclusion to "Do you remember SAT math?"

Two weeks ago, I posted two SAT-style Quantitative Comparison questions. This week, I am posting the solutions (sorry, I know it's a bit late).

If we let the radius of the inner circle be r and the length of segment BC be s such that the radius of the outer circle is r+s, then we can express all the quantities that we are interested in in terms of r and s.

The length of arc CE is:
¼(2π(r+s)) = ½πr + ½πs

The length of arc BD plus the length of segment DE is:
¼(2πr) + s = ½πr + s

The length of segment CB plus arc BD plus the length of segment DE is:
s +¼(2πr) + s = ½πr + 2s

When comparing each pair of terms, the ½πr cancel each other out. Because s is a length, we know that s>0, which means that ½πs is always greater than s, but is always less than 2s. In terms of answering the quantitative comparison questions, this means the answer to the first question must be A and the answer to the second question must be B.

Put another way, if you are walking around a 90 degree arc (such as from point C to point E), it will always be faster to walk around the outer arc than to walk to an inner arc, traverse it, and return to the outer arc. What is particularly interesting is that this is true regardless of the radius of the inner arc.

Now before you start taking the outside edge of every curve, note that this only holds true for arcs less than a certain size. For example, what if it you were traversing a semicircle instead?

The length of the outer arc would be:
½(2π(r+s)) = πrs

The length of the two straightaways plus the inner arc would be:
s +½(2πr) + s = πr + 2s

Because πs is greater than 2s, it makes more sense to walk to the inner arc when walking around a semicircle! So where is the breaking point? This can be determined by letting x be the fraction of the circle to traverse and setting the two path lengths equal to one another and solving for x:

x(2π(r+s)) = x(2πr) + 2s
xr+2πxs = 2πxr + 2s
xs = 2s
πx = 1
x = 1 / π

Plugging that into Google Calculator, we see that x is ~0.318, so once you're walking more than a third of the way around a circle, it makes more sense to move to the inner arc.

I thought that this would make a great SAT question for several reasons. First, and most importantly, this is a quantitative comparison question that does not have any numbers, yet its answer is not D! I'm pretty sure that most students hated geometry (so sad!), so when they come to something like this, it's pretty easy to throw up one's hands and declare the question unsolvable. Of course such a student would be incorrect...

Also, this question is resistant to some common SAT-solving techniques. For example, for geometry questions where the figure is to scale (such as this one), The Princeton Review will tell you to make small marks on your answer sheet so you can use it as a ruler, but because this problem involves arcs, that is of little help. Another common SAT tip is to redraw the diagram, exaggerating r or s, but if you play around with that, you can probably convince yourself that there are cases where one quantity is larger than the other, but it's hard to say conclusively that it holds true for arbitrary values of r and s.

That means the only ones who will be answering the question correctly are those who can do the math. Isn't that how it should be?


  1. This is interesting article..Thanks for sharing this wonderful information. 온라인카지노

  2. Ahaa, its good discussion about this post here at this webpage, I have read all that, so at this time me also commenting
    here. 온라인카지노

  3. 토토사이트 Useful info. Lucky me I found your web site
    by chance, and I am surprised why this twist of fate
    didn't came about in advance! I bookmarked it.

  4. 스포츠토토 I'm extremely impressed with your writing skills as well as with the
    layout on your blog. Is this a paid theme or did you modify it yourself?

    Either way keep up the nice quality writing, it's rare
    to see a great blog like this one these days.

  5. When I read your article on this topic, the first thought seems profound and difficult. There is also a bulletin board for discussion of articles and photos similar to this topic on my site, but I would like to visit once when I have time to discuss this topic. sòng bạc

  6. It's really great. Thank you for providing a quality article. There is something you might be interested in. Do you know 룰렛사이트? If you have more questions, please come to my site and check it out!

  7. It is included in my habit that I often visit blogs in my free time, so after landing on your blog. I have thoroughly impressed with it and decided to take out some precious time to visit it again and again. Thanks.สล็อตแตกง่าย

  8. Caesars Casino and Racetrack – 2021 New Jersey Gambling
    Caesars septcasino Resort aprcasino Casino & Racetrack is the latest casino in New worrione Jersey to 도레미시디 출장샵 undergo a comprehensive safety review. The casino is owned by Caesars

  9. เล่นง่ายได้เงินจริง ท่องเที่ยวไปยังโลกของเงินตราด้วยกันที่เว็บไซต์ SLOT PG เว็บไซต์ที่มาพร้อมกับเกมออนไลน์หลากหลายรูปแบบ มีทั้งเกมแนวการผจญภัย แนวเกมแฟนตาซี แนวเกมการต่อสู้สุดเร้าใจ ตื่นตาตื่นใจไปกับภาพกราฟิกที่ถูกสร้างมาอย่างดีไม่ซ้ำใคร มีภาพที่คมชัดระดับ FULL HD มาพร้อมกับเงินรางวัลและฟีเจอร์แสนสนุกแจกให้ตลอดทั้งเกม

  10. เว็บเกมของเรามีการอัพเดทเกมตลอดเวลา แจ็คพอตแตกง่าย โบนัสแตกไว จ่ายเงินจริง สมัครสมาชิกและรับสะดวกสบายไปกับระบบออโต้สุดลื่นไหลใน SLOTPG เว็บเกมสล็อตสุดทันสมัย ที่มาพร้อมรูปแบบใหม่สุดล้ำสมัยและมากที่สุดในปี 2022 ตัวเกมของเราโดดเด่นในเรื่องของระบบเกมและภาพกราฟิกในเกม รับรองว่าระบบเกมของเราช่วยสร้างความสนุกสนานและตื่นเต้นเร้าใจให้ผู้เล่นได้ทุกนาทีอย่างต่อเนื่อง หากท่านใดสนใจที่จะสมัครสมาชิกกับเราวันนี้ คุณจะได้รับโบนัสและแจ็คพอตใหญ่ในเกมไปเลยทันที 100% !!

  11. I pay to read some web pages and site articles and reviews every day, based on features other than this web page.


  12. เมก้าสล็อต บริการเกมสล็อตออนไลน์มากกว่า 1,000 เกม สมัครสมาชิกรับโบนัส 100% ฝาก-ถอน ไม่มีขั้นต่ำ ใช้เวลาเพียง 10 วินาที รองรับระบบทรูมันนี่วอเลท True Wallet

  13. การให้บริการของทางคาสิโนออนไลน์นั้นอยู่ในรูปแบบเว็บไซต์ และแอปพลิเคชั่น ที่ผู้เล่นสามรถเลือกได้ตามความสะดวกและการรองรับของอุปกรณ์ที่ใช้งานได้เลย และการเชื่อมต่อผ่านอินเทอร์เน็ตที่ทำให้สามารถเลนได้ทั่วทุกพื้นที่ไม่ว่าจะอยู่ที่ไหนก็ตาม เรียกได้ครบวงจรความบันเทิง
    สล็อต PG

  14. แนะนำสำหรับนักปั่นทุกท่าน เว็บเกมสล็อตเกมส์สล็อตออนไลน์อันดับต้นของไทย เว็ปตรง แตกง่าย จ่ายหนัก ไม่ทำเทิร์น สล็อตเว็ปตรง พร้อมสูตร เดิมพันคาสิโนระดับมืออาชีพพร้อมให้บริการ มีแอดมินคอยบริการตลอด 24 ชม คาสิโนออนไลน์

  15. This comment has been removed by the author.

  16. This comment has been removed by the author.